Filho de imigrantes asquenazes austríacos — sendo seu irmão, Fritz Weissmann, fundador da encarroçadora de ônibus Ciferal —, Franz Josef Weissmann veio para o Brasil em 1921. No Rio de Janeiro, entre 1939 e 1941, frequentou cursos de arquitetura, escultura, pintura e desenho na Escola Nacional de Belas Artes (Enba). De 1942 a 1944, estudou desenho, escultura, modelagem e fundição com August Zamoyski (1893–1970). Em 1945, transferiu-se para Belo Horizonte, onde ministrou aulas particulares de desenho e escultura. Três anos depois, foi convidado por Guignard (1896–1962) a lecionar escultura na Escola do Parque, que mais tarde receberia o nome de Escola Guignard. Nesse período inicial, sua obra ainda se pautava pelo figurativismo.

A partir da década de 1950, Weissmann desenvolveu gradualmente uma produção de caráter construtivista, valorizando as formas geométricas. Suas esculturas passaram a explorar recortes e dobraduras em chapas de ferro, fios de aço e alumínio em verga ou folha. Em 1955, integrou o Grupo Frente. No ano seguinte, retornou ao Rio de Janeiro e participou da 1ª Exposição Nacional de Arte Concreta (1957). Em 1959, tornou-se um dos fundadores do Grupo Neoconcreto. Nesse mesmo ano, viajou para a Europa e o Extremo Oriente, permanecendo no exterior até 1965.

Na década de 1960, apresentou a série Amassados, criada durante sua estadia europeia, composta por chapas de zinco ou alumínio trabalhadas com martelo, porrete e instrumentos cortantes — fase em que se alinhou temporariamente ao informalismo. Posteriormente, voltou a aproximar-se das vertentes construtivas.

Nos anos 1970, recebeu o Prêmio de Melhor Escultor da Associação Paulista de Críticos de Arte (APCA), participou da Bienal Internacional de Escultura ao Ar Livre, em Antuérpia (Bélgica), e da Bienal de Veneza. Realizou ainda diversas esculturas monumentais instaladas em espaços públicos de diferentes cidades brasileiras, como a Praça da Sé, em São Paulo, e o Parque da Catacumba, no Rio de Janeiro.